Discussion:Théorème des résidus

Ajout d'une partie sur les sommes

L'article mentionne (dans l'introduction) que le théorème des résidus est appliqué dans les démos analytiques du théorème des nombres premiers et dans des calculs de somme (j'ai brièvement étudié ces histoires de sommes mais pas assez pour écrire un chapitre dessus). Ce serait peut être intéressant d'ajouter cela à l'article ? (genre chapitre Applications aux calculs de sommes). Thibaut Liénart (d) 21 juin 2009 à 22:34 (CEST)

Les démonstrations du théorème des nombres premiers nécessitent des estimations assez fines de la fonction zeta de Riemann, le théorème de non annulation sur l'axe 1 et le théorème des résidus associé à tout un tas de théorèmes classiques (genre théorème des trois cercles, ...). Autrement, il y a la démonstration du théorème des nombres premiers par M(x)=o(x) mais la démonstration n'est pas plus simple (lemme d'Ikehara, ...) ou la méthode crible de Selberg.Claudeh5 (d) 16 juillet 2009 à 16:00 (CEST)

ah oui en effet ca ne peut pas être un "petit chapitre à caser". Mais pour le calcul de sommes je pensais plutôt à aux évaluations du type $\sum _{1}^{\infty }{1 \over n^{2}}={\pi ^{2} \over 6}$ qui est donnée par :

$\sum _{1}^{\infty }n^{-2}=1/2\sum _{-\infty ,n\neq 0}^{\infty }n^{-2}=-1/2\mathrm {Res} \left({\pi \cot \pi z \over z^{2}};0\right)$ etc.... Thibaut Liénart (d) 19 juillet 2009 à 11:20 (CEST)

Enoncé

J'ai modifié dans l'énoncé "fini" (retiré) et j'ai ajouté isolé. On ne trouve dans des références convenables pas de restriction quant au "nombre" de singularités. Par ex dans "Cours d'analyse de l'école polytechnique" (merci Claude), on trouve (p.279 de la 2e edition, 2e volume) Soient f(z) une fonction monodrome dans une certaine région du plan; k un contour fermé sans point multiple, tracé dans cette région et ne contenant dans son intérieur que des points critiques isolés $a,a',\dots$, on aura : $\int _{k}f(z)dz=2\pi i(A_{-1}+A_{-1}'+\dots )$ avec $A_{-1},\dots$ les résidus relatifs à ces points critiques et l'intégrale étant prise dans le sens direct. Il n'y a donc pas de restriction sur le nombre de points critiques par contre on (Camille Jordan) mentionne clairement le caractère isolé des points critiques (singuliers). J'ai modifié en conséquence dans les intégrales du second, troisième et 4e type. Thibaut Liénart (d) 19 juillet 2009 à 14:33 (CEST)

Ai ajouté sommation sur tous les points singuliers y compris le point à l'infini. Cette remarque figure dans l'ouvrage d'Henri Cartan page 93.Titi2 (d) 23 novembre 2010 à 16:39 (CET)

Cet ajout de Titi2 est absurde car $\mathrm {Ind} _{\gamma }(\infty )=0$. Je rectifie en mettant le vrai énoncé de Cartan. Anne (d) 30 mars 2012 à 12:27 (CEST)

Lemme de Jordan

les énoncés du type: Si $\exists M,R>0$ et $\alpha >1$ tels que $|f(z)|\leq {M \over |z|^{\alpha }}$ pour tout $|z|\geq R$ portent le nom de lemme de Jordan.Claudeh5 (d) 16 juillet 2009 à 16:01 (CEST)

Le lemme c'est plutôt que l'intégrale curviligne tend vers zéro sous ces conditions non ? Par conséquent je pense que les hypothèses que tu mentionnes ont une raison d'être dans l'article. On pourrait peut être les remplacer par l'hypothèse du lemme. Est-ce que tu penses qu'il faut remplacer dans les démonstrations en disant "on utilise le lemme de Jordan" ? J'ai mis le développement chaque fois et je pense que c'est intéressant de le mettre au moins une fois pour montrer la technique d'estimation etc. mais c'est vrai qu'on est pas obligé de le mettre partout. Thibaut Liénart (d) 17 juillet 2009 à 19:24 (CEST)

Oui tu as raison:

Lemme de Jordan: S'il existe un M>0 et un coefficient $\alpha >1$ tels que pour tout R >0 on ait $|f(z)|\leq {M \over |z|^{\alpha }}$ pour tout $|z|\geq R$ alors l'intégrale prise sur le cercle C(0,R) $\oint _{C(0,R)}f(z)dz$ tend vers 0 quand le rayon R tend vers l'infini.

Quant à remplacer, je crois qu'il vaudrait mieux et cela enlèverait un lien rouge sur lemme de Jordan.

Le lemme de Jordan est exprimé ainsi dans son cours d'analyse de l'école polytechnique (1ere division 1882-1883, page 57): "Lemme II:Soit f(z) une fonction telle que zf(z) tende vers zéro lorsque z augmente indéfiniment; l'intégrale $\int _{C}f(z)dz$prise le long d'un cercle de rayon infini tend vers zéro: on a

$\int _{C}f(z)dz=\int _{C}zf(z){\frac {dz}{z}}<M{\frac {2\pi R}{R}}<2\pi M$. M tendant vers 0, $\int _{C}f(z)dz$ a aussi cette limite". Mais ce lemme n'existe pas dans son cours de 1ère division 1878-1879.Dans la 3e édition (1909 de son cours d'analyse de l'école polytechnique chez Gauthier-Villars, le "lemme de Jordan" est remplacé par tout un tas de petits lemmes du même genre (Tome 2,Chapitre VI: intégrales complexes, p306-311). Claudeh5 (d) 18 juillet 2009 à 01:02 (CEST)

Ok, je crois qu'il y a deux choses intéressantes à faire : créer un article sur le lemme de Jordan (ce que je compte faire bientôt) et alors j'y verrai plus clair pour les éventuels remplacements dans l'article ici (sauf si tu veux t'en charger). En tout cas merci pour les renseignements je vais essayer de trouver les sources que tu mentionnes dans une bibliothèque ! (hum.. ou sur google books apparemment) Thibaut Liénart (d) 18 juillet 2009 à 18:34 (CEST)

Problème dans la démonstration

La dernière inégalité dans la démonstration de la troisième forme me semble problématique143.176.196.221 (discuter) 26 avril 2022 à 15:03 (CEST)

C'est réparé. Merci. Anne (discuter) 26 avril 2022 à 21:11 (CEST)